分析 由已知數(shù)列遞推式可得$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}-1=\frac{1}{4}(\frac{n}{{a}_{n}}-1)$,即數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}-1$}是以-$\frac{1}{4}$為首項(xiàng),以$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列,求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,作和即可求得$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{3}{{a}_{3}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$.
解答 解:由an+1=$\frac{4(n+1){a}_{n}}{3{a}_{n}+n}$,得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{4{a}_{n}}{3{a}_{n}+n}$,
∴$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{4}•\frac{n}{{a}_{n}}+\frac{3}{4}$,則$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}-1=\frac{1}{4}(\frac{n}{{a}_{n}}-1)$,
又$\frac{1}{{a}_{1}}-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}$.
∴數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}-1$}是以-$\frac{1}{4}$為首項(xiàng),以$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列,
則$\frac{n}{{a}_{n}}-1=-\frac{1}{4}•(\frac{1}{4})^{n-1}$,$\frac{n}{{a}_{n}}=1-\frac{1}{{4}^{n}}$.
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{3}{{a}_{3}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$=$1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{{4}^{2}}+…+1-\frac{1}{{4}^{2016}}$
=2016-($\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{4}^{2016}}$)=$2016-\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{4}^{2016}})}{1-\frac{1}{4}}$=$2015\frac{2}{3}+\frac{1}{3•{4}^{2016}}$.
故答案為:$2015\frac{2}{3}+\frac{1}{3•{4}^{2016}}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法,是中檔題.
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A. | y軸對(duì)稱 | B. | 直線y=x對(duì)稱 | C. | 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 | D. | 直線y=-x對(duì)稱 |
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A. | 3x+2y=0 | B. | 3x-2y=0 | C. | 2x+3y=0 | D. | 2x-3y=0 |
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