9.記橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{{n{y^2}}}{4n+1}$=1圍成的區(qū)域(含邊界)為Ωn(n=1,2,3…),當點(x,y)分別在Ω1,Ω2,…上時,x+y的最大值分別是M1,M2,…,則$\lim_{n→+∞}{M_n}$=2$\sqrt{2}$.

分析 將橢圓的標準方程轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程,x+y=2cosθ+$\sqrt{4+\frac{1}{n}}$sinθ=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$sin(θ+φ),根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知:(x+y)max=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$=$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$.$\underset{lim}{n→∞}$Mn=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$=2$\sqrt{2}$.

解答 解:把橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{{n{y^2}}}{4n+1}$=1得,
橢圓的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{4+\frac{1}{n}}sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù)),
∴x+y=2cosθ+$\sqrt{4+\frac{1}{n}}$sinθ=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$sin(θ+φ),
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知:當sin(θ+φ)=1時,x+y取最大值,
∴(x+y)max=$\sqrt{{2}^{2}+4+\frac{1}{n}}$=$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$.
∴$\underset{lim}{n→∞}$Mn=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{8+\frac{1}{n}}$=2$\sqrt{2}$,
故答案為:2$\sqrt{2}$.

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程,考查輔助角公式的應(yīng)用,正弦函數(shù)的最值,考查數(shù)列極限的應(yīng)用,考查計算能力,技巧性強,要求學(xué)生對高中所學(xué)知識的綜合應(yīng)用,屬于難題.

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