Question

14．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的圖象經(jīng)過三點(diǎn)（0，1），$（\frac{5π}{12}，0）$，$（\frac{11π}{12}，0）$，且在區(qū)間$（\frac{5π}{12}，\frac{11π}{12}）$內(nèi)有唯一的最值，且為最小值．
（1）求函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-m，m]上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）-a+1=0在區(qū)間$（0，\frac{π}{2}）$內(nèi)有兩個實(shí)數(shù)根x₁，x₂（x₁＜x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意利用周期公式可求ω，又由題意當(dāng)$x=\frac{5}{12}π$時，y=0，結(jié)合$0＜φ＜\frac{π}{2}$可解得φ，再由x=0時，y=1，可求A，從而可求函數(shù)解析式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得f（x）單調(diào)遞增區(qū)間，由題意[-m，m]⊆[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{m≤\frac{π}{6}}{-m≥-\frac{π}{3}}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，可得m的最大值．
（3）解法1：命題等價于直線y=a，與曲線$g（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$（0$＜x＜\frac{π}{2}$）有兩個交點(diǎn)，當(dāng)0$＜x＜\frac{π}{2}$時，可求g（0）=2，$g（\frac{π}{6}）=3$，$g（\frac{π}{2}）=2$，利用正弦函數(shù)的圖象可求2＜a＜3，即可得解；
解法2：設(shè)t=2x+$\frac{π}{6}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$），則h（t）=2sint+1，t∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），原命題等價于直線y=a與曲線h（t）=2sint+1，t∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）有兩個交點(diǎn)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由題意可得函數(shù)的周期$T=2（{\frac{11}{12}π-\frac{5}{12}π}）=π$，
∴ω=2，…（1分）
又由題意當(dāng)$x=\frac{5}{12}π$時，y=0，得$Asin（{2×\frac{5}{12}π+φ}）=0$，
結(jié)合$0＜φ＜\frac{π}{2}$可解得$φ=\frac{π}{6}$，…（2分）
再由題意當(dāng)x=0時，y=1，
∴${A}sin\frac{π}{6}=1$，
∴A=2…（3分）
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．…（4分）
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）在區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)k=0時，f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函數(shù)，…（5分）
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-m，m]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則[-m，m]⊆[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，…（6分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{m≤\frac{π}{6}}{-m≥-\frac{π}{3}}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤$\frac{π}{6}$，…（7分）
∴m的最大值是$\frac{π}{6}$，…（8分）
（3）解法1：方程f（x）-a+1=0在區(qū)間$（0，\frac{π}{2}）$內(nèi)有兩實(shí)數(shù)根x₁，x₂（x₁＜x₂）等價于直線y=a，與曲線$g（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$（0$＜x＜\frac{π}{2}$）有兩個交點(diǎn)．…（9分）
∵當(dāng)0$＜x＜\frac{π}{2}$時，由（2）知$g（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$在（0，$\frac{π}{6}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)，…（10分）
且g（0）=2，$g（\frac{π}{6}）=2$，$g（\frac{π}{2}）=2$．
∴2＜a＜3，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3），…（12分）
解法2：設(shè)t=2x+$\frac{π}{6}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$），則h（t）=2sint+1，t∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
方程f（x）-a+1=0在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)有兩實(shí)數(shù)根x₁，x₂（x₁＜x₂）等價于直線y=a與曲線h（t）=2sint+1，t∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）有兩個交點(diǎn)．…（9分）
h（t）=2sint+1在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$）上是減函數(shù)，…（10分）
$且h（\frac{π}{6}）=2$，$h（\frac{π}{2}）=2$，$h（\frac{7π}{6}）=2$，
∴2＜a＜3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3），…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的解法及其應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．