Question

15．某商場舉行促銷活動，有兩個摸獎箱，A箱內有一個“1”號球、兩個“2”號球、三個“3”號球、四個無號球，B箱內有五個“1”號球、五個“2”號球，每次摸獎后放回．消費額滿100元有一次A箱內摸獎機會，消費額滿300元有一次B箱內摸獎機會，摸得有數(shù)字的球則中獎，“1”號球獎50元、“2”號球獎20元、“3”號球獎5元，摸得無號球則沒有獎金．
（Ⅰ）經統(tǒng)計，消費額X服從正態(tài)分布N（150，625），某天有1000位顧客，請估計消費額X
（單位：元）在區(qū)間（100，150]內并中獎的人數(shù)；
附：若$X\～N（μ，\;{σ^2}）$，則P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．
（Ⅱ）某三位顧客各有一次A箱內摸獎機會，求其中中獎人數(shù)ξ的分布列；
（Ⅲ）某顧客消費額為308元，有兩種摸獎方法，方法一：三次A箱內摸獎機會；方法二：一次B箱內摸獎機會．請問：這位顧客選哪一種方法所得獎金的期望值較大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意得μ=150，σ²=625，得σ=25，100=μ-2σ，消費額X在區(qū)間（100，150]內的顧客有一次A箱內摸獎機會，中獎率為0.6，人數(shù)約為1000×P（μ-2σ＜X≤μ），可得其中中獎的人數(shù)．
（Ⅱ）三位顧客每人一次A箱內摸獎中獎率都為0.6，三人中中獎人數(shù)ξ服從二項分布B（3，0.6），$P（ξ=k）=C_3^k{0.6^k}•{0.4^{3-k}}$，（k=0，1，2，3），即可得出．
（Ⅲ）利用數(shù)學期望的計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意得μ=150，σ²=625，得σ=25，100=μ-2σ，------------（1分）
消費額X在區(qū)間（100，150]內的顧客有一次A箱內摸獎機會，中獎率為0.6，---------（2分）
人數(shù)約為1000×P（μ-2σ＜X≤μ）=$1000×\frac{0.9544}{2}$=477人，------------------------（3分）
其中中獎的人數(shù)約為477×0.6=286人；--------------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）三位顧客每人一次A箱內摸獎中獎率都為0.6，
三人中中獎人數(shù)ξ服從二項分布B（3，0.6），$P（ξ=k）=C_3^k{0.6^k}•{0.4^{3-k}}$，（k=0，1，2，3）----------------------------------------------------（6分）
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	0.064（或$\frac{8}{125}$）	0.288（或$\frac{36}{125}$）	0.432（或$\frac{54}{125}$）	0.216（或$\frac{27}{125}$）

-----------（8分）
（Ⅲ）A箱摸一次所得獎金的期望值為50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------（9分）
B箱摸一次所得獎金的期望值為50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------（10分）
方法一所得獎金的期望值為3×10.5=31.5，方法二所得獎金的期望值為35，
所以這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大．-----------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了正態(tài)分布、二項分布列及其數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．