Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'（x），對任意的實數(shù)x都有f（x）=4x²-f（-x），當x∈（-∞，0）時，$f'（x）+\frac{1}{2}＜4x$．若f（m+1）≤f（-m）+4m+2，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． $[{-\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 利用構(gòu)造法設(shè)g（x）=f（x）-2x²，推出g（x）為奇函數(shù)，判斷g（x）的單調(diào)性，然后推出不等式得到結(jié)果．

解答 解：∵f（x）=4x²-f（-x），
∴f（x）-2x²+f（-x）-2x²=0，
設(shè)g（x）=f（x）-2x²，則g（x）+g（-x）=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵x∈（-∞，0）時，f′（x）+$\frac{1}{2}$＜4x，
g′（x）=f′（x）-4x＜-$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，
若f（m+1）≤f（-m）+4m+2，
則f（m+1）-2（m+1）²≤f（-m）-2m²，
即g（m+1）＜g（-m），
∴m+1≥-m，解得：m≥-$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，難度比較大．