Question

【題目】已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為，為動(dòng)點(diǎn)，若.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若，設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且與軌跡交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).試問(wèn)：當(dāng)直線在變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條定直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，

【解析】

（1）根據(jù)，且，由橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，再求出 ，寫出方程.

（2）先設(shè)直線的方程為，如果存在，則對(duì)任意 都成立，首先取特殊情況，當(dāng)時(shí)，探究出該直線為，再通過(guò)一般性的證明即可.

（1）雙曲線的兩焦點(diǎn)為，

設(shè)動(dòng)點(diǎn) ，

因?yàn)?/span>，且 ，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.

因?yàn)?/span> ，

所以的軌跡方程；.

（2）由題意設(shè)直線的方程為，

取 ，得，

直線 的方程是，

直線的方程是，

交點(diǎn)為 .

若，由對(duì)稱性可知：交點(diǎn)為.

若點(diǎn)在同一條直線上，則該直線只能為.

以下證明 對(duì)任意的，直線與交點(diǎn)均在直線上.

由得 ，

設(shè)，

由韋達(dá)定理得：

設(shè)直線與交點(diǎn)為 ，

由 ，

得.

設(shè)直線與 交點(diǎn)為 ，

由 ，

得，

因?yàn)?/span>，

.

所以與重合.

所以當(dāng)直線在變化時(shí)，點(diǎn)恒在直線上.