Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-2|
（I）若不等式f（x）≤a的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$]．求a的值；
（II）若?x∈R．使f（x）＜m²-4m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x＜-1}\\{2x-1，-1≤x≤2}\\{3，x≥2}\end{array}\right.$，作出函數(shù)的圖象，利用不等式f（x）≤a的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$]．求a的值；
（II）若?x∈R．使f（x）＜m²-4m，問(wèn)題等價(jià)于-3＜m²-4m，即可求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x＜-1}\\{2x-1，-1≤x≤2}\\{3，x≥2}\end{array}\right.$，其圖象如下：…（3分）
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=0．

當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＞0．
所以a=0．…（6分）
（Ⅱ）f（x）＜m²-4m．
因?yàn)閒（x）的最小值為-3，
所以問(wèn)題等價(jià)于-3＜m²-4m．
解得m＜1，或m＞3．-------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查存在性問(wèn)題，正確轉(zhuǎn)化是個(gè)關(guān)鍵．