5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,
(1)證明:PA∥平面EDB
(2)證明:平面BDE⊥平面PCB.

分析 (1)連結(jié)AC,設(shè)AC與BD交于O點,連結(jié)EO,易證EO為△PAC的中位線,從而OE∥PA,再利用線面平行的判斷定理即可證得PA∥平面BDE;
(2)依題意,易證DE⊥底面PBC,再利用面面垂直的判斷定理即可證得平面BDE⊥平面PBC.

解答 證明:(1)連結(jié)AC,設(shè)AC與BD交于O點,連結(jié)EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴O為AC的中點,又E為PC的中點,
∴OE∥PA,
∵OE?平面BDE,PA?平面BDE,
∴PA∥平面BDE.…(6分)
(2)∵PD=DC,E是PC的中點,
∴DE⊥PC.
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AD.又由于AD⊥CD,PD∩CD=D,故AD⊥底面PCD,
所以有AD⊥DE.又由題意得AD∥BC,故BC⊥DE.
于是,由BC∩PC=C,DE⊥PC,BC⊥DE可得DE⊥底面PBC.
故可得平面BDE⊥平面PBC.…(12分)

點評 本題考查直線與平面平行的判定,考查平面與平面垂直的判定,在(1)中證得EO為△PAC的中位線,在(2)中證得DE⊥底面PBC是關(guān)鍵,考查推理證明的能力,屬于中檔題.

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