分析 (1)由${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{{{a_n}^2}}{{4{a_n}^2+1}}}$,兩邊平方${a_{n+1}}^2=\frac{{{a_n}^2}}{{4{a_n}^2+1}}$,取倒數(shù)化為$\frac{1}{{{a_{n+1}}^2}}-\frac{1}{{{a_n}^2}}=4$,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)bn=S2n+1-Sn,可得bn+1=S2n+3-Sn+1,作差${b_{n+1}}-{b_n}=({S_{2n+3}}-{S_{2n+1}})-({S_{n+1}}-{S_n})={a_{2n+3}}^2+{a_{2n+2}}^2-{a_{n+1}}^2$,代入化簡(jiǎn)可得其單調(diào)性.進(jìn)而得出.
解答 (1)證明:∵${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{{{a_n}^2}}{{4{a_n}^2+1}}}$,∴${a_{n+1}}^2=\frac{{{a_n}^2}}{{4{a_n}^2+1}}$,∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}^2}}=\frac{{4{a_n}^2+1}}{{{a_n}^2}}=\frac{1}{{{a_n}^2}}+4$,
即$\frac{1}{{{a_{n+1}}^2}}-\frac{1}{{{a_n}^2}}=4$,∴$\left\{{\frac{1}{{{a_n}^2}}}\right\}$為等差數(shù)列.
∴$\frac{1}{{{a_n}^2}}=\frac{1}{{{a_1}^2}}+(n-1)•4=4n-3$,∴${a_n}^2=\frac{1}{4n-3}$,又由題知an>0,∴${a_n}=\frac{1}{{\sqrt{4n-3}}}$.
(2)解:bn=S2n+1-Sn,∴bn+1=S2n+3-Sn+1,
∴${b_{n+1}}-{b_n}=({S_{2n+3}}-{S_{2n+1}})-({S_{n+1}}-{S_n})={a_{2n+3}}^2+{a_{2n+2}}^2-{a_{n+1}}^2$=$\frac{1}{8n+9}+\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{4n+1}=-\frac{40n+31}{(8n+9)(8n+5)(4n+1)}<0$,
∴bn+1<bn.即數(shù)列{bn}為遞減數(shù)列,則要使${b_n}<\frac{m}{25}$恒成立,只需${b_1}<\frac{m}{25}$,
∵${b_1}={S_3}-{S_1}={a_2}^2+{a_3}^2=\frac{14}{45}$,∴$\frac{14}{45}<\frac{m}{25},m>\frac{70}{9}$.
∴存在最小的正整數(shù)m=8,使對(duì)任意n∈N+,有${b_n}<\frac{m}{25}$成立.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、作差法、數(shù)列的單調(diào)性,考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{a}_{0}}{4}$ | D. | $\frac{{a}_{0}}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | ?x∈R,x2-4≥0或x2-4x≤0 | B. | ?x∈R,x2-4≥0且x2-4x≤0 | ||
C. | ?x∈R,x2-4≥0或x2-4x≤0 | D. | ?x∈R,x2-4≥0且x2-4x≤0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | [-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$] | B. | (-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$) | C. | (-∞,-$\sqrt{3}$)∪($\sqrt{3}$,+∞) | D. | (-∞,-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$,+∞) |
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