Question

8．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-1\end{array}$（t為參數(shù)），當t=0時，曲線C₁上對應的點為 P．以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=$\frac{8cosθ}{1-cos2θ}$．
（I）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C₁與C₂的公共點為A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）消去參數(shù)t，把曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程；利用極坐標公式，把曲線C₂化為直角坐標方程；
（II）t=0時求出點 P，求出過點P的直線傾斜角，寫出C₁的參數(shù)方程，與y²=4x聯(lián)立，求出|PA|•|PB|的值．

解答 解：（I）因為曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t，得曲線C₁的普通方程為3x-4y-4=0；
又曲線C₂的極坐標方程為$ρ=\frac{8cosθ}{1-cos2θ}$=$\frac{8cosθ}{{2sin}^{2}θ}$，
∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
化為普通方程是y²=4x；
所以曲線C₂的直角坐標方程為y²=4x；…（4分）
（II）當t=0時，x=0，y=-1，所以點 P（0，-1）；
由（I）知曲線C₁是經(jīng)過點P的直線，設(shè)它的傾斜角為α，
則$tanα=\frac{3}{4}$，
所以$sinα=\frac{3}{5}$，$cosα=\frac{4}{5}$，
所以曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}{T}\\ y=-1+\frac{3}{5}{T}\end{array}\right.$（ T為參數(shù)），
將上式代入y²=4x，得
9 T²-110 T+25=0，
所以$|{{P}{A}}|•|{{P}{B}}|=|{{{T}_1}{{T}_2}}|=\frac{25}{9}$．…（10分）

點評 本題考查了參數(shù)方程與極坐標方程的應用問題，是綜合性題目．