Question

19．已知a＞0，b＞0，a+b=2．
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值；
（2）求證：$\frac{ab（\sqrt{a}+\sqrt）}{a+b}$≤1．

Answer 1

分析 （1）分式類型，巧運(yùn)用a+b的式子即可；
（2）利用基本不等式轉(zhuǎn)化為$\frac{ab（\sqrt{a}+\sqrt）}{a+b}$=ab•$\frac{\sqrt{a}+\sqrt}{2}$$≤\sqrt{\frac{a+b}{2}}$•（$\frac{a+b}{2}$）²求解即可．

解答 解：（1）a+b=2．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{a+b}{a}$+$\frac{4（a+b）}$）=$\frac{1}{2}×$（5+$\frac{a}$$+\frac{4a}$）≥$\frac{9}{2}$僅當(dāng)（b=2a等號(hào)成立）；
（2）證明：$\frac{ab（\sqrt{a}+\sqrt）}{a+b}$=ab•$\frac{\sqrt{a}+\sqrt}{2}$$≤\sqrt{\frac{a+b}{2}}$•（$\frac{a+b}{2}$）²=1．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成立）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的運(yùn)用，恒等變形的能力，屬于容易題，關(guān)鍵看準(zhǔn)條件．