Question

4．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₃=3a₃+2a₂，a₄=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=log₂a_n，求{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得q的值，則a_n=a₄q^n-4；
（Ⅱ）由b_n=|log₂a_n|，a_n=2^n-7，知b_n=|log₂2^n-7|=|n-7|，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0．
由已知S₃=3a₃+2a₂有2a₃+a₂-a₁=0，即$2{a_1}{q^2}+{a_1}q-{a_1}=0$，
∴2q²+q-1=0故$q=\frac{1}{2}$或q=-1（舍）
∴${a_n}={a_4}×{q^{n-4}}={（{\frac{1}{2}}）^{n-7}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=7-n故當(dāng)n≤7時(shí)，b_n≥0
∴當(dāng)n≤7時(shí)，${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{{n（{{b_1}+{b_n}}）}}{2}=-\frac{n^2}{2}+\frac{13n}{2}$
當(dāng)n＞7時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b₇-（b₈+b₉+…+b_n）
=2（b₁+b₂+…+b₇）-（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{13n}{2}$+42，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{13n}{2}（0＜n≤7）}\\{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{13n}{2}+42（n＞7）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．