Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，（a_n-3）a_n+1-a_n+4=0（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的遞推公式依次求出a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)a₂，a₃，a₄值的結構特點猜想{a_n}的通項公式，再用數(shù)學歸納法①驗證n=1成立，②假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立

解答 解：（1）令n=1，-2a₂+3=0，a₂=$\frac{3}{2}$，
令n=2，-$\frac{3}{2}$a₃-$\frac{3}{2}$+4=0，a₃=$\frac{5}{3}$，
令n=3，-$\frac{4}{3}$a₄-$\frac{5}{3}$+4=0，a₄=$\frac{7}{4}$．                     
（2）猜想a_n=$\frac{2n-1}{n}$（n∈N^*）．                              
證明：當n=1時，a₁=1=$\frac{2-1}{1}$，所以a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立，
假設當n=k時，a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立，即a_k=$\frac{2k-1}{k}$，
則（a_k-3）a_k+1-a_k+4=0，即（$\frac{2k-1}{k}$-3）a_k+1-$\frac{2k-1}{k}$+4=0，
所以$\frac{k+1}{k}$a_k+1=$\frac{2k+1}{k}$，即a_k+1=$\frac{2k+1}{k+1}$=$\frac{2（k+1）-1}{k+1}$，
所以當n=k+1時，結論a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立．
綜上，對任意的n∈N^*，a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立．

點評 本題考查數(shù)列遞推關系式的應用，數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．注意在證明n=k+1時用上假設，化為n=k的形式，屬于中檔題．