Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若g（x）=$\sqrt{x}$[f（x）-ax]，且對(duì)任意x≥1，2$\sqrt{x}$•g′（x）-1≥$\frac{λx}{x+1}$恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域下，討論a≥0，a＜0，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．
（Ⅱ）先求導(dǎo)，化簡對(duì)任意x≥1，2$\sqrt{x}$•g′（x）-1≥$\frac{λx}{x+1}$恒成立，得到λ≤（1+$\frac{1}{x}$）（lnx+1），再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
則f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，則f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）．無減區(qū)間；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜-$\frac{1}{a}$；令f′（x）＜0，解得x＞-$\frac{1}{a}$．
則f（x）的增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（Ⅱ）∵g（x）=$\sqrt{x}$[f（x）-ax]=$\sqrt{x}$（ax+lnx-ax）=$\sqrt{x}$lnx，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$lnx+$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$（lnx+2），
∴2$\sqrt{x}$•g′（x）-1=lnx+1，
∵對(duì)任意x≥1，2$\sqrt{x}$•g′（x）-1≥$\frac{λx}{x+1}$恒成立，
∴l(xiāng)nx+1≥$\frac{λx}{x+1}$恒成立，
∴λ≤（1+$\frac{1}{x}$）（lnx+1），
設(shè)h（x）=（1+$\frac{1}{x}$）（lnx+1），
∴h′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
再令φ（x）=x-lnx，x≥1，
∴φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$≥0恒成立，
∴φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）≥φ（1）=1，
∴h′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=2，
∴λ≤2

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，函數(shù)的最值問題以及函數(shù)恒成立的問題，考查了轉(zhuǎn)化思想屬于中檔題．