4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為10的正方形,若PD⊥平面ABCD,PD=AB.
(I)求證:AC⊥PB.
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大。

分析 (Ⅰ)連結(jié)AC,BD,交于點(diǎn)O,推導(dǎo)出AC⊥BD,AC⊥PD,從而AC⊥平面PBD,由此能證明AC⊥PB.
(2)過點(diǎn)A作AE⊥PB于E,連結(jié)EO,則∠AEO為二面角A-PB-D的平面角,由此能求出二面角A-PB-D的大小.

解答 證明:(Ⅰ)連結(jié)AC,BD,交于點(diǎn)O,
∵底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD
又∵PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴AC⊥PD,
∵PD∩BD=D,∴AC⊥平面PBD,
∵PB?平面PBD,∴AC⊥PB
解:(2)過點(diǎn)A作AE⊥PB于E,連結(jié)EO,
由(1)可知AC⊥PB,∴PB⊥平面AEO,
∴∠AEO為二面角A-PB-D的平面角.
在Rt△PAB中,$AE=\frac{{10\sqrt{6}}}{3}$,
而由(1)知AC⊥平面PDB,AC⊥OE,
∴$sin∠AEO=\frac{AO}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,∴∠AEO=60°,
故二面角A-PB-D為60°.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查二面角的大小的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)當(dāng)r=1時(shí),
(i)若橢圓E的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求橢圓E的方程;
(ii)當(dāng)點(diǎn)P在直線x+y=l上時(shí),求直線F1P與F1Q的夾角;
(Ⅱ)當(dāng)r=r0時(shí),若總有F1P⊥F1Q,猜想:當(dāng)a變化時(shí),點(diǎn)P是否在某定直線上,若是寫出該直線方程(不必求解過程).

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9.已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=alnx+x2-4x.
(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)在x=1處取得極值?證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)g(x)=(a-2)x,若?x0∈[$\frac{1}{e}$,e],使得f(x0)≤g(x0)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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