【題目】某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每件產(chǎn)品須向總公司繳納a元(a為常數(shù)，2≤a≤5)的管理費(fèi)，根據(jù)多年的統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元時(shí)，產(chǎn)品一年的銷售量為 (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))萬(wàn)件，已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品一年的銷售量為500萬(wàn)件．經(jīng)物價(jià)部門核定每件產(chǎn)品的售價(jià)x最低不低于35元，最高不超過(guò)41元．
（1）求分公司經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)萬(wàn)元與每件產(chǎn)品的售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)最大，并求出L(x)的最大值．

【答案】
（1）解：由題意，該產(chǎn)品一年的銷售量為y＝ .
將x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.
故該產(chǎn)品一年的銷售量y(萬(wàn)件)關(guān)于x(元)的函數(shù)關(guān)系式為y＝500e40－x.
所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．
（2）解：由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．
①當(dāng)2≤a≤4時(shí)，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，x＝35時(shí)取等號(hào)．
所以L(x)在[35，41]上單調(diào)遞減．
因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.
②當(dāng)4<a≤5時(shí)，L′(x)>035≤x<31＋a，
L′(x)<031＋a<x≤41.
所以L(x)在[35，31＋a)上單調(diào)遞增，在[31＋a，41]上單調(diào)遞減．
因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.
綜上所述當(dāng)2≤a≤4時(shí)，每件產(chǎn)品的售價(jià)為35元，該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)最大，最大為500(5－a)e5萬(wàn)元；
當(dāng)4<a≤5時(shí)，每件產(chǎn)品的售價(jià)為(31＋a)元時(shí)，該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)最大，最大為500e9－a萬(wàn)元．
【解析】（1）由每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品一年的銷售量為500萬(wàn)件，代入可得k值，進(jìn)而根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量得到該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L（x）萬(wàn)元與每件產(chǎn)品的售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）中所得函數(shù)的解析式，求導(dǎo)后分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析出該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L（x）的最大值．

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【題目】在極坐標(biāo)系下，知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線 ．
（1）求圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)θ∈（0，π）時(shí)，求圓O和直線l的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．

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【題目】已知函數(shù) .
（1）證明： ；
（2）若對(duì)任意 ，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

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【題目】如圖，正方體 的棱長(zhǎng)為1， 分別是棱 的中點(diǎn)，過(guò) 的平面與棱 分別交于點(diǎn) .設(shè) ， ．

①四邊形 一定是菱形；② 平面 ；③四邊形 的面積 在區(qū)間 上具有單調(diào)性；④四棱錐 的體積為定值.
以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

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【題目】若函數(shù)f(x)＝2x2－ln x在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.[1，＋∞)
B.[1,2)
C.
D.

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【題目】若對(duì)圓 上任意一點(diǎn) ， 的取值與 無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）
A.
B.
C. 或
D.

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【題目】已知函數(shù) ．（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù) 在 上的最大值與最小值的差為 ，求 的表達(dá)式．

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（Ⅰ）若 ， 的面積為4，求拋物線 的方程；
（Ⅱ）若 三點(diǎn)在同一條直線 上，直線 與 平行，且 與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線 的方程.

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（1）證明： 平面 ；
（2）若 ，求三棱錐 的體積.

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