Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，點F₁、F₂為橢圓的左、右焦點，點P為橢圓上的一點．
（1）當(dāng)∠F₁PF₂為直角，求P點橫坐標(biāo)的值；
（2）當(dāng)∠F₁PF₂=60°時，求△F₁PF₂面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由∠F₁PF₂為直角，可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=${x}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}$+y²=0，與$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1聯(lián)立解得：x．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．利用橢圓定義可得m+n=4，由余弦定理可得：$（2\sqrt{3}）^{2}$=m²+n²-2mncos60°，聯(lián)立解得mn，利用△F₁PF₂面積S=$\frac{1}{2}mnsin6{0}^{°}$即可得出．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，c=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)P（x，y），∵∠F₁PF₂為直角，
$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=$（x+\sqrt{3}，y）$，$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=$（x-\sqrt{3}，y）$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=${x}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}$+y²=0，即x²+y²=3，
與$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1聯(lián)立解得：x=$±\frac{\sqrt{33}}{3}$．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
∴m+n=4，可得m²+n²+2mn=16．
由余弦定理可得：$（2\sqrt{3}）^{2}$=m²+n²-2mncos60°，
∴4=3mn，解得mn=$\frac{4}{3}$．
∴△F₁PF₂面積S=$\frac{1}{2}mnsin6{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．