Question

19．已知函數f（x）在其定義域（0，+∞），f（2）=1，且對任意正數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．
（1）求f（8）的值；
（2）若f（x）是定義域內的增函數，解關于x不等式f（x）+f（x-2）≤3．

Answer 1

分析 （1）利用條件、恒等式和賦值法即可求f（8）的值；
（2）由（1）和恒等式將不等式f（x）+f（x-2）≤3等價轉化，結合函數的定義域、單調性列出不等式組，求解即可．

解答 解：（1）由題意得，f（2）=1，任意正數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
令x₁=x₂=2，得f（4）=2f（2）=2，
令x₁=4，x₂=2，得f（8）=f（4）+f（2）=3；
（2）由（1）得f（8）=3，
所以f（x）+f（x-2）≤3化為f（x）+f（x-2）≤f（8），
因為任意正數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
所以f（x）+f（x-2）≤f（8）等價于f[x（x-2）]≤f（8），
因為f（x）是定義域（0，+∞）上的增函數，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-8）≤8}\end{array}\right.$，解得$2＜x≤4+2\sqrt{6}$，
所以不等式的解集是$（2，4+2\sqrt{6}]$．

點評 本題考查抽象函數的函數值和單調性問題，以及不等式的解集，一般采用賦值法、等價轉化的思想，根據恒等式、函數單調性將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．