Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n+a_n=4-$\frac{1}{{{2^{n-2}}}}（{n∈{N^*}}）$，則a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 S_n+a_n=4-$\frac{1}{{{2^{n-2}}}}（{n∈{N^*}}）$，n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=4-$\frac{1}{{2}^{n-3}}$，可得：2a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．變形為2^n-1a_n-2^n-2a_n-1=1．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵S_n+a_n=4-$\frac{1}{{{2^{n-2}}}}（{n∈{N^*}}）$，
∴n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=4-$\frac{1}{{2}^{n-3}}$，
可得：2a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
∴2^n-1a_n-2^n-2a_n-1=1．
n=1時(shí)，2a₁=4-2，解得a₁=1．
∴數(shù)列{2^n-1a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
則2^n-1a_n=1+（n-1）=n．
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
故答案為：$\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．