Question

19．如圖，經(jīng)過村莊A有兩條互相垂直的筆直公路AB和AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路圍成的直角區(qū)域內(nèi)建一工廠P，為了倉庫存儲和運輸方便，在兩條公路上分別建兩個倉庫M，N（異于村莊A，將工廠P及倉庫M，N近似看成點，且M，N分別在射線AB，AC上），要求MN=2，PN=1（單位：km），PN⊥MN．
（1）設(shè)∠AMN=θ，將工廠與村莊的距離PA表示為θ的函數(shù)，記為l（θ），并寫出函數(shù)l（θ）的定義域；
（2）當θ為何值時，l（θ）有最大值？并求出該最大值．

Answer 1

分析 （1）過點P作PD⊥AC，垂足為D，連結(jié)PA．運用直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義，求得PD，ND，PA；
（2）運用同角的平方關(guān)系和二倍角公式及兩角和差函數(shù)公式，化簡函數(shù)式，再由正弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)，可得最大值．

解答 解：（1）過點P作PD⊥AC，垂足為D，連結(jié)PA．
在Rt△MAN中，sinθ=$\frac{NA}{MN}$=$\frac{NA}{2}$，故NA=2sinθ，
在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ=$\frac{PD}{PN}$=$\frac{PD}{1}$，cosθ=$\frac{ND}{PN}$=$\frac{ND}{1}$，
故PD=sinθ，ND=cosθ．
在Rt△PDA中，PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{P{D}^{2}+（AN+ND）^{2}}$
=$\sqrt{si{n}^{2}θ+（2sinθ+cosθ）^{2}}$，
所以l（θ）=$\sqrt{si{n}^{2}θ+（2sinθ+cosθ）^{2}}$，
函數(shù)l（θ）的定義域為（0，$\frac{π}{2}$）．
（2）由（1）可知，l（θ）=$\sqrt{si{n}^{2}θ+（2sinθ+cosθ）^{2}}$，
即l（θ）=$\sqrt{si{n}^{2}θ+4si{n}^{2}θ+4sinθcosθ+co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{4si{n}^{2}θ+4sinθcosθ+1}$
=$\sqrt{2（1-cos2θ）+2sin2θ+1}$=$\sqrt{2sin2θ-2cos2θ+3}$=$\sqrt{2\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）+3}$，
又θ∈（0，$\frac{π}{2}$），故2θ-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），所以當2θ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
即θ=$\frac{3π}{8}$時，sin（2θ-$\frac{π}{4}$）取最大值1，
l（θ）_max=$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$．
答：當θ=$\frac{3π}{8}$時，l（θ）有最大值，最大值為1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，注意運用三角函數(shù)的恒等變換公式，考查正弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)，屬于中檔題．