Question

18．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作斜率為$\frac{1}{2}$的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求證：|PA|²+|PB|²為定值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)設(shè)出橢圓方程，利用點(diǎn)在橢圓上，求出b，即可得到橢圓方程．
（2）設(shè)出P，直線l的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)出AB坐標(biāo)，通過(guò)韋達(dá)定理表示：|PA|²+|PB|²，化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)镃的焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，
故可設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（2＞b＞0），
因?yàn)辄c(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上，所以$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，
解得b²=1，
所以，橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）證明：設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），由已知，直線l的方程是y=$\frac{x-m}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得，2x²-2mx+m²-4=0，（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩個(gè)根，
所以有，x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
所以，|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=（x₁-m）²+$\frac{1}{4}$（x₁-m）²+（x₂-m）²+$\frac{1}{4}$（x₂-m）²
=$\frac{5}{4}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]
=$\frac{5}{4}$[x₁²+x₂²-2m（x₁+x₂）+2m²]
=$\frac{5}{4}$[（x₁+x₂）²-2m（x₁+x₂）-2x₁x₂+2m²]
=$\frac{5}{4}$[m²-2m²-（m²-4）+2m²]=5（定值）．
所以，|PA|²+|PB|²為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值問(wèn)題的化簡(jiǎn)求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．