Question

4．設點集M={（x，y）|xcosθ+ysinθ-sinθ-1=0（0≤θ≤2π）}，集合M在坐標平面xoy內形成區(qū)域的邊界構成曲線C，曲線C的中心為T，圓N：（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1，過圓N上任一點P分別作曲線C的兩切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，則$\overrightarrow{TE}•\overrightarrow{TF}$的范圍為[-$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$]．

Answer 1

分析 求出曲線C是以T（0，1）為圓心，以1為半徑的圓，設出∠EPF，求數(shù)量積的表達式，然后求PT的范圍，結合數(shù)量積，求其最值．

解答 解：∵點T（0，1）到直線xcosθ+ysinθ-sinθ-1=0的距離d=$\frac{|sinθ-sinθ-1|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}=1$，
∴曲線C是以T（0，1）為圓心，以1為半徑的圓，
設∠EPF=2α
則$\overrightarrow{TE}•\overrightarrow{TF}$=1×1×cos2α=2cos^2_α-1，
在 Rt△PTE中，cosα=$\frac{1}{|PT|}$
由圓的幾何性質得$\sqrt{5}$-1≤|PT|≤$\sqrt{5}$+1，
∴$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$≤cosα≤$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，由此可得-$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$≤$\overrightarrow{TE}•\overrightarrow{TF}$≤$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，
故答案為：[-$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$]

點評 本題主要考查求軌跡方程，考查平面向量的數(shù)量積的運算，圓的標準方程，屬于中檔題．