Question

20．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx-1|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x+2，x≤0}\end{array}\right.$，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d）且a＜b＜c＜d，給出下列三個結論：
①abcd∈（0，e²]；
②a+b+c+d∈（e³+$\frac{1}{e}$-2，e⁴+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2]；
③已知關于x的方程f（x）+（-1）^kx-t=0恰有三個不同實根，若k為偶數(shù)，則t∈[2，$\frac{9}{4}$]；若k為奇數(shù)，則t=[2，$\frac{17}{4}$]；其中正確的結論有（　�。﹤�．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx-1|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x+2，x≤0}\end{array}\right.$的圖象，數(shù)形結合，分析三個結論的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx-1|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x+2，x≤0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}-（x+1）^{2}+3，x≤0\\ 1-lnx，0＜x＜1\\ lnx-1，x≥1\end{array}\right.$
∴函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

若直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象相交于四個不同的點，由圖可知m∈[2，3），
則a，b是x²+2x+m-2=0
的兩根，∴a+b=-2，ab=m-2，
∴ab∈[0，1），且lnc=1-m，lnd=1+m，
∴l(xiāng)n（cd）=2，
∴cd=e²，
∴abcd∈[0，e²），
∴①是正確的．
由1-lnx=3得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，由1-lnx=2得x=$\frac{1}{e}$，
∴c∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]，又∵cd=e²，
∴a+b+c+d=c+$\frac{{e}^{2}}{c}$-2在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]是遞減函數(shù)，∴a+b+c+d∈∈[e³+$\frac{1}{e}$-2，e⁴+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2）；
∴②是錯誤的
已知關于x的方程f（x）+（-1）^kx-t=0恰有三個不同實根，若k為偶數(shù)，
即f（x）+x-t=0恰有三個不同實根，
則y=f（x）與y=-x+t有三個不同的交點，
當y=-x+t過（0，2）點時，t=2，
當y=-x+t與拋物線相切時，-x+t=-x²-2x+2，即x²+x+t-2=0的△=1-4（t-2）=0，
解得：t=$\frac{9}{4}$，
故t∈[2，$\frac{9}{4}$]；
若k為奇數(shù)，即f（x）-x-t=0恰有三個不同實根，
則y=f（x）與y=x+t有三個不同的交點，
當y=x+t過（0，2）點時，t=2，
當y=x+t與拋物線相切時，x+t=-x²-2x+2，即x²+3x+t-2=0的△=9-4（t-2）=0，
解得：t=$\frac{17}{4}$，
故t∈[2，$\frac{17}{4}$]；
若關于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則y=f（x）與y=-x+m有三個不同的交點，
故③正確的
故選C

點評 本題考查函數(shù)的圖象，分段函數(shù)，零點與方程的根之間的關系，綜合性較強．