Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=e²，當x∈（0，e]時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由此根據(jù)a≤0，a＞0進行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0），
①當a≤0時，由于x＞0，故ax-1＜0，f'（x）＜0，
所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），
②當a＞0時，由f'（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）上，f'（x）＜0，在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f'（x）＞0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），
單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），
綜上，當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）a=e²時，f（x）=e²x-lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$（e²x-1），（x＞0），
∵e²＞0，由（Ⅰ）得：
f（x）在（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）遞減，在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=3．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．