Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M、N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，若動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，試探究，是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？若存在，求F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，得x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，由M，N都在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，設(shè)${k}_{OM}•{k}_{ON}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，得到點(diǎn)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$上的點(diǎn)，由此能求出F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，得x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M(jìn)，N都在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，
∴${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4，{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4$，
∴${x}^{2}+2{y}^{2}=（{{x}_{1}}^{2}+4{x}_{1}{x}_{2}+4{{x}_{2}}^{2}）+2$（${{y}_{1}}^{2}+4{y}_{1}{y}_{2}+4{{y}_{2}}^{2}$）
=（${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}$）+4（${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}$）+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20+4（x₁x₂+2y₁y₂），
設(shè)${k}_{OM}•{k}_{ON}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=20，∴點(diǎn)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$上的點(diǎn)，
∴由橢圓的定義知存在點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，滿足|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$為定值，
又∵|F₁F₂|=2$\sqrt{20-10}$=2$\sqrt{10}$，
∴F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為F₁（-$\sqrt{10}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{10}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)、向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用．