2.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S10=110,S15=240.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$+$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$-2,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

分析 (1)由由等差數(shù)列的前n項和公式可知:$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=110}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=240}\end{array}\right.$,即可求得a1和d,即可求得數(shù)列{an}的通項公式;
(2)由(1)可知:bn=$\frac{2n+2}{2n}$+$\frac{2n}{2n+2}$=$\frac{n+1}{n}$+$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+2,采用分組求和,“裂項法”,即可求得數(shù)列{bn}的前n項和Tn

解答 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d,
由等差數(shù)列的前n項和公式可知:$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=110}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=240}\end{array}\right.$,整理得:$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=22}\\{{a}_{1}+7d=16}\end{array}\right.$

解得,$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$.
由等差數(shù)列的通項公式an=2(n-1)+2=2n,
數(shù)列{an}的通項公式an=2n;…(6分)
(2)由(1)可知:bn=$\frac{2n+2}{2n}$+$\frac{2n}{2n+2}$=$\frac{n+1}{n}$+$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+2,
Tn=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+2n,
=$\frac{n}{n+1}$+2n,
=$\frac{2{n}^{2}+3n}{n+1}$,
數(shù)列{bn}的前n項和Tn=$\frac{2{n}^{2}+3n}{n+1}$.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列前n項和,考查“裂項法”及分組求和,考查計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)O做斜率為k(k>0)的直線,交E于C,D兩點(diǎn),求四邊形ACBD面積的最大值.

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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
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乙   92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);若將頻率視為概率,對甲學(xué)生在培訓(xùn)后參加的一次數(shù)學(xué)競賽成績進(jìn)行預(yù)測,求甲的成績高于80分的概率;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度(在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中選兩中)考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請說明理由.

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