Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，4）上單調遞增，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=2x相切，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{a（x+1）-ax}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}+ax}{x（x+1）^{2}}$，由題意f′（x）≥0在（0，4）上恒成立，從而a＞-$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）-2在（0，4）上恒成立，由此能求出a的取值范圍．
（2）設切點為（x₀，y₀），則y₀=2x₀，${f}^{'}（{x}_{0}）=2，{y}_{0}=ln{x}_{0}+\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$，從而a=（x₀+1）²（2-$\frac{1}{{x}_{0}}$），進而lnx₀+2x₀²-x₀-1=0，令F（x）=lnx+2x²-x-1，則F′（x）＞0，從而F（x）在（0，+∞）單調遞增，由此能求出a．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R），
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{a（x+1）-ax}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}+ax}{x（x+1）^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，4）上單調遞增，∴f′（x）≥0在（0，4）上恒成立，
∴（x+1）²+ax≥0，即a＞-$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）-2在（0，4）上恒成立，
∵x+$\frac{1}{x}$≥2，（當且僅當x=1時取等號），∴-（x+$\frac{1}{x}$）-2≤-4，
∴a≥-4，即a的取值范圍是[-4，+∞）．
（2）設切點為（x₀，y₀），則y₀=2x₀，${f}^{'}（{x}_{0}）=2，{y}_{0}=ln{x}_{0}+\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{a}{（{x}_{0}+1）^{2}}=2$，①，且$2{x}_{0}=ln{x}_{0}+\frac{a{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$，②
由①，得a=（x₀+1）²（2-$\frac{1}{{x}_{0}}$），代入②，得lnx₀+2x₀²-x₀-1=0，
令F（x）=lnx+2x²-x-1，則F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）單調遞增，
又F（1）=0，∴x₀=1，∴a=4．

點評 本題考查導數(shù)的性質及應用、導數(shù)的幾何意義、構造法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．