Question

11．已知向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是夾角為60⁰的單位向量，$\overrightarrow c=3\overrightarrow a+2\overrightarrow b$，$\overrightarrow d=m\overrightarrow a-4\overrightarrow b$，（1）求$|{\overrightarrow a+3\overrightarrow b}|$；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，$\overrightarrow c$與$\overrightarrow d$平行？

Answer 1

分析 （1）利用向量的平方與其模長(zhǎng)平方相等，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算，然后開方求值；
（2）利用向量平行的性質(zhì)得到$\overrightarrow c=λ\overrightarrow d$，借助于平面向量基本定理得到m的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}$，
∴${|{\overrightarrow a+3\overrightarrow b}|^2}={|a|^2}+6\overrightarrow a•\overrightarrow b+9{|{\overrightarrow b}|^2}=13$，
∴$|{\overrightarrow a+3\overrightarrow b}|=\sqrt{13}$…4分
（2）當(dāng)$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow d$，則存在實(shí)數(shù)λ使$\overrightarrow c=λ\overrightarrow d$，所以$3\overrightarrow a+2\overrightarrow b=λ（m\overrightarrow a-4\overrightarrow b）$
∵$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不共線
∴$\left\{\begin{array}{l}3=λm\\ 2=-4λ\end{array}\right.$
∴m=-6…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的模長(zhǎng)計(jì)算以及平行的性質(zhì)、平面向量基本定理；屬于基礎(chǔ)題．