分析 (1)由AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O,能求出|AB|=4,直線AB的方程為y=x,求出直線AB與l間的距離,由此能求出△ABC的面積.
(2)設(shè)直線AB的方程為y=x+m,則|BC|=$\frac{|m-2|}{{\sqrt{2}}}$,由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$,得2x2+2mx+m2-4=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式,能求出邊AC的長最大時(shí),AB所在直線的方程.
解答 解:(1)∵△ABC的頂點(diǎn)A,B在圓x2+y2=4上,C在直線l:y=x+2上,
且AB∥l,AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí),
∴|AB|=4,------(1分)
此時(shí)直線AB的方程為y=x,
∴直線AB與l間的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$,------(1分)
∴S△ABC=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.------(2分)
(2)設(shè)直線AB的方程為y=x+m,
則|BC|=$\frac{|m-2|}{{\sqrt{2}}}$,------(1分)
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$,得2x2+2mx+m2-4=0①,------(1分)
△=4m2-8(m2-4)>0,
∴$-2\sqrt{2}<m<2\sqrt{2}$,------(1分)
設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),則x1,x2為方程①的兩根,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-m\\{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{2}\end{array}\right.$------(1分)
∴|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{{m^2}-2({m^2}-4)}=\sqrt{16-2{m^2}}$------(1分)
∴|AC|2=|AB|2+|BC|2=$-\frac{3}{2}{m^2}-2m+18$------(1分)
當(dāng)$m=-\frac{2}{3}$時(shí),|AC|2取得最大值,即|AC|取最大值,------(1分)
此時(shí)直線AB的方程為$y=x-\frac{2}{3}$.------(1分)
點(diǎn)評 本題考查線段長及三角形面積的求法,考查直線方程的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意直線方程、圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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A. | (-∞,2) | B. | (2,+∞) | C. | (1,4) | D. | (0,3) |
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A. | $\sqrt{14}$ | B. | $\sqrt{15}$ | C. | 4 | D. | $\sqrt{17}$ |
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A. | ρ=8sin(θ-$\frac{π}{4}$) | B. | ρ=8cos(θ-$\frac{π}{4}$) | ||
C. | ρ2-4ρcos(θ-$\frac{π}{4}$)+3=0 | D. | ρ2-4ρsin(θ-$\frac{π}{4}$)+3=0 |
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