分析 (Ⅰ)由PB⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,則AB⊥BC,PB⊥底面ABCD,PB⊥CD,在底面ABCD中,由∠ABC=∠BAD=90°,AB=AD=$\frac{1}{2}$BC,BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC,BD⊥CD,CD⊥平面PAC;
(Ⅱ)設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,1),B(0,0,0),E(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),$\overrightarrow{BE}$=(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),D(1,1,0),則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$,$\overrightarrow{n}$=(0,1,0),又平面ABE的法向量為$\overrightarrow{m}$=(0,1,0),cos<$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{m}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{m}丨}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,二面角A-BE-D的大小的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
解答 解:(Ⅰ)證明:由PB⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,
∴∠ABC=90°,AB⊥BC,
PB⊥底面ABCD,
而CD?底面ABCD,
PB⊥CD,
在底面ABCD中,由∠ABC=∠BAD=90°,AB=AD=$\frac{1}{2}$BC,
∴BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC,
BD⊥CD,
又PB∩BD=B,
∴CD⊥平面PAC;
(Ⅱ)設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,1),B(0,0,0),E(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),
$\overrightarrow{BE}$=(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),D(1,1,0),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$,$\overrightarrow{n}$=(0,1,0),
又∵平面ABE的法向量為$\overrightarrow{m}$=(0,1,0),
∴cos<$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{m}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{m}丨}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
即二面角A-BE-D的大小的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
點評 本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、兩異面直線所成角、二面角及其平面角等有關(guān)知識,考查空間想象能力和思維能力,應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | 2 | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | 1 |
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