Question

7．已知f（x）=$\frac{{{e^{ax}}}}{x}$，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若f（x）在（0，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求證：$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{i•{e^i}}}}＜\frac{7}{4e}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，再分離參數(shù)，得到$a≤\frac{1}{x}$在（0，4]上恒成立，根據(jù)函數(shù)的最值即可求出a的范圍，
（Ⅱ）先求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)最小值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得$\frac{1}{n{e}^{n}}$=$\frac{n}{{n}^{2}{e}^{n}}$≤$\frac{1}{{n}^{2}}$•$\frac{1}{e}$，利用放縮法和裂項(xiàng)求和法即可證明不等式成立．

解答 解：（Ⅰ）由題意知$f'（x）=（\frac{{{e^{ax}}}}{x}）'=\frac{{{e^{ax}}（ax-1）}}{x^2}≤0$在（0，4]上恒成立．
又e^ax＞0，x²＞0，則ax-1≤0在（0，4]上恒成立，
即$a≤\frac{1}{x}$在（0，4]上恒成立．
而當(dāng)x∈（0，4]時(shí)，${（\frac{1}{x}）_{min}}=\frac{1}{4}$，
所以$a≤\frac{1}{4}$，
于是實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（{-∞，\frac{1}{4}}]$．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，則$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$．
當(dāng)x-1＞0，即x＞1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x-1＜0且x≠0，即x＜0和0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，
則f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）和（0，1）．…6
據(jù)此可得函數(shù)f（x）的大致圖象，如圖所示：因?yàn)閙＞0，所以m+2＞1，
①當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）在[m，1]上單調(diào)遞減，在[1，m+2]上單調(diào)遞增，所以f（x）_min=f（1）=e．
②當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在[m，m+2]上單調(diào)遞增，所以$f{（x）_{min}}=f（m）=\frac{e^m}{m}$．
綜上，當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）_min=e；當(dāng)m≥1時(shí)，$f{（x）_{min}}=\frac{e^m}{m}$．
證明有：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$≥e，
所以$\frac{x}{{e}^{x}}$≤$\frac{1}{e}$，x＞0，
可得$\frac{1}{n{e}^{n}}$=$\frac{n}{{n}^{2}{e}^{n}}$≤$\frac{1}{{n}^{2}}$•$\frac{1}{e}$，
于是證：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i{e}^{i}}$=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2{e}^{2}}$+…+$\frac{1}{n{e}^{n}}$≤$\frac{1}{e}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{e}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{n}^{2}-1}$），
=$\frac{1}{e}$[1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=$\frac{1}{e}$[1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]＜$\frac{1}{e}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$）=$\frac{7}{4e}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，以及放縮法和裂項(xiàng)求和在證明數(shù)列中的應(yīng)用，屬于難題．