Question

8．已知函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極大值，則f（x）的極小值等于$-\frac{32}{27}$．

Answer 1

分析 由題意可得f′（-2）=0，解出c的值之后必須驗(yàn)證是否符合函數(shù)在某一點(diǎn)取得極大值的充分條件．求出c，然后求解函數(shù)的極小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x（x-c）²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）
=（x-c）（3x-c），
由f（x）在x=-2處有極大值，即有f′（-2）=0，
解得c=-2或-6，
若c=-2時(shí)，f′（x）=0，可得x=-2或-$\frac{2}{3}$，
由f（x）在x=-2處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，取得極大值，
若c=-6，f′（x）=0，可得x=-6或-2
由f（x）在x=-2處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，取得極小值．不滿足題意；
綜上可得c=-2．
f′（x）=（x+2）（3x+2），x=-$\frac{2}{3}$時(shí)函數(shù)取得極小值，極小值為：
f（$-\frac{2}{3}$）=$-\frac{2}{3}$（$-\frac{2}{3}$+2）²=-$\frac{32}{27}$．
故答案為：$-\frac{32}{27}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值，主要考查求極值的方法，注意檢驗(yàn)，屬于中檔題和易錯(cuò)題．