Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1-a}{2}$x²+ax-lnx，a∈R，
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對(duì)任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有$\frac{{（{a^2}-1）}}{2}m+ln2＞|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}$|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f （x）的極值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，并分解，再進(jìn)行分類討論，利用f′（x）＜0，確定函數(shù)單調(diào)減區(qū)間；f′（x）＞0，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）確定f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，可得f（x）的最大值與最小值，進(jìn)而利用分離參數(shù)法，經(jīng)整理得$m＞\frac{a-3}{{{a^2}-1}}$，由3＜a＜4，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=x-lnx，{f^'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，…（1分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；f（x）單調(diào)遞減；  …（2分）
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．f（x）單調(diào)遞增   …（3分）
∴f（x）_極小值=f（1）=1，無(wú)極大值．…（5分）
（Ⅱ）${f^'}（x）=（1-a）x+a-\frac{1}{x}$=$\frac{{（1-a）{x^2}+ax-1}}{x}$=$\frac{{（1-a）（x-\frac{1}{a-1}）（x-1）}}{x}$…（6分）
當(dāng)$\frac{1}{a-1}=1$，即a=2時(shí)，${f^'}（x）=-\frac{{{{（1-x）}^2}}}{x}≤0$，f（x）在定義域上是減函數(shù)；      …（7分）
當(dāng)$0＜\frac{1}{a-1}＜1$，即a＞2時(shí)，令f′（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{a-1}$或x＞1；
令f′（x）＞0，得$\frac{1}{a-1}＜x＜1$．．…（8分）
當(dāng)$\frac{1}{a-1}＞1$，即1＜a＜2時(shí)，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或$x＞\frac{1}{a-1}$；
令f′（x）＞0，得$1＜x＜\frac{1}{a-1}$．…（9分）
綜上，當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在$（0，\frac{1}{a-1}）$和（1，+∞）單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{a-1}，1）$上單調(diào)遞增；
1＜a＜2時(shí)，f（x）在（0，1）和$（\frac{1}{a-1}，+∞）$單調(diào)遞減，在$（1，\frac{1}{a-1}）$上單調(diào)遞增；  …（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a∈（3，4）時(shí)，f（x）在[1，2]上單減，f（1）是最大值，f（2）是最小值．
∴$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（1）-f（2）=\frac{a}{2}-\frac{3}{2}+ln2$…（11分）
∴$\frac{{（{a^2}-1）}}{2}m+ln2＞$$\frac{a}{2}-\frac{3}{2}+ln2$，而a＞0經(jīng)整理得$m＞\frac{a-3}{{{a^2}-1}}$，…（13分）
由3＜a＜4得$0＜\frac{a-3}{{{a^2}-1}}＜\frac{1}{15}$，
所以$m≥\frac{1}{15}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的最值，利用分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍．