Question

8．設(shè)拋物線y²=2x的焦點為F，過點M（$\sqrt{3}$，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C，|BF|=2，則△BCF和△ACF的面積之比為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 利用三角形面積公式，可把△BCF與△ACF的面積之比轉(zhuǎn)化為BC長與AC長的比，再根據(jù)拋物線的焦半徑公式轉(zhuǎn)化為A，B到準線的距離之比，借助|BF|=2求出B點坐標，得到AB方程，代入拋物線方程，解出A點坐標，就可求出BN與AE的長度之比，得到所需問題的解．

解答 解：∵拋物線方程為y²=2x，∴焦點F的坐標為（$\frac{1}{2}$，0），
準線方程為x=-$\frac{1}{2}$，
如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
過A，B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為E，N，
則|BF|=x₂+$\frac{1}{2}$=2，
∴x₂=$\frac{3}{2}$，
把x₂=$\frac{3}{2}$代入拋物線y²=2x，得，y₂=-$\sqrt{3}$，
∴直線AB過點M（$\sqrt{3}$，0）與（$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{3}$）
方程為$\sqrt{3}$x+（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$）y-3=0，代入拋物線方程，解得，x₁=2
∴|AE|=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴|BC|：|AC|=|BN|：|AE|=2：$\frac{5}{2}$=$\frac{4}{5}$，
△BCF和△ACF的面積之比為：$\frac{1}{2}$|BC|•h：$\frac{1}{2}$|AC|•h=$\frac{4}{5}$
故答案為：$\frac{4}{5}$

點評 本題主要考查了拋物線的焦半徑公式，側(cè)重了學生的轉(zhuǎn)化能力，以及計算能力