Question

4．現(xiàn)有l(wèi)，2，3，4，5，6，7，8，9九個(gè)自然數(shù)
（1）從中一次性抽取3個(gè)數(shù)，求這3個(gè)數(shù)之和是偶數(shù)的概率；
（2）做如下游戲：從中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，若能被3整除則游戲停止；若不能被3整除，則放回后再隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，游戲繼續(xù)，至多抽取5次，若5次抽取的數(shù)都不能被3整除，游戲也停止．設(shè)抽取的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從中一次性抽取3個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)$n={C}_{9}^{3}$，這3個(gè)數(shù)之和是偶數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{1}{C}_{5}^{2}$，由此能求出這3個(gè)數(shù)之和是偶數(shù)的概率．
（2）由題意得X的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）l，2，3，4，5，6，7，8，9九個(gè)自然數(shù)
從中一次性抽取3個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)$n={C}_{9}^{3}$，
這3個(gè)數(shù)之和是偶數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{1}{C}_{5}^{2}$，
∴這3個(gè)數(shù)之和是偶數(shù)的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{11}{21}$．
（2）由題意得X的可能取值為1，2，3，4，5，
P（X=1）=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，
P（X=3）=（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，
P（X=4）=（$\frac{2}{3}$）³×$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{81}$，
P（X=5）=1-$\frac{1}{3}-\frac{2}{9}-\frac{4}{27}-\frac{8}{81}$=$\frac{16}{81}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{16}{81}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=$1×\frac{1}{3}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{4}{27}+4×\frac{8}{81}+5×\frac{16}{81}$=$\frac{211}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．