分析 (Ⅰ)橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,整理得:3a2=4b2,由三角形OAB的面積公式可知:$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\sqrt{{a^2}+{b^2}}$,代入即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)當(dāng)直線l斜率不存在時,求得t=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$,?當(dāng)直線l斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+t,代入橢圓方程,$\overrightarrow{PN}=3\overline{NQ}$,則x1=-3x2,代入上式可得${x_1}=\frac{-12kt}{{4{k^2}+3}}$,${x_2}=\frac{4kt}{{4{k^2}+3}}$,
求得:${k^2}=\frac{{9-3{t^2}}}{{16{t^2}-12}}$,則$\frac{{{t^2}({3-{t^2}})}}{{4{t^2}-3}}>0$,即可求得t的取值范圍,由△AON的周長$l=2+|t|+\sqrt{{t^2}+4}$,$t∈({-\sqrt{3}}\right.,\left.{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.,\left.{\sqrt{3}})$是偶函數(shù),由t的取值范圍,即可求得△AON周長的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)由橢圓C;$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,
∵橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,整理得:3a2=4b2,…(1分)
又∵坐標(biāo)系原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$.
由三角形OAB的面積公式可知:$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\sqrt{{a^2}+{b^2}}$,…(2分)
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\sqrt{{a^2}+\frac{3}{4}{a^2}}$,a=2,$b=\sqrt{3}$,
橢圓C的方程為:$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$;…(4分)
(Ⅱ)?當(dāng)直線l斜率不存在時,
∵經(jīng)過點(diǎn)N(0,t)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,且,$\overrightarrow{PN}=3\overline{NQ}$.
∴$點(diǎn)N為橢圓短軸的四等分點(diǎn),t=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,…(5分)
?當(dāng)直線l斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+t,
又設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2).
∴$由\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+t\end{array}\right.得(4{k^2}+3){x^2}+8ktx+4{t^2}-12=0$,
∴△>0,即4k2-t2+3>0,(*)
${x_1}+{x_2}=-\frac{8kt}{{4{k^2}+3}}$,${x_1}{x_2}=\frac{{4{t^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$…(7分)
又∵$\overrightarrow{PN}=3\overline{NQ}$,
∴x1=-3x2,代入上式可得${x_1}=\frac{-12kt}{{4{k^2}+3}}$,${x_2}=\frac{4kt}{{4{k^2}+3}}$$\frac{-12kt}{{4{k^2}+3}}•\frac{4kt}{{4{k^2}+3}}=\frac{{4{t^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$,
化簡得:16k2t2+3t2-12k2-9=0,
∴${k^2}=\frac{{9-3{t^2}}}{{16{t^2}-12}}$帶入(*)得$\frac{{{t^2}({3-{t^2}})}}{{4{t^2}-3}}>0$,
即又t≠0,
∴(3-t2)(4t2-3)>0
解得;$-\sqrt{3}<t<-\frac{{\sqrt{3}}}{2}或\frac{{\sqrt{3}}}{2}<t<\sqrt{3}$,…(9分)
綜上所述實數(shù)t的取值范圍為:$({-\sqrt{3}}\right.,\left.{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.,\left.{\sqrt{3}})$,…(10分)
又△AON的周長$l=2+|t|+\sqrt{{t^2}+4}$,$t∈({-\sqrt{3}}\right.,\left.{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.,\left.{\sqrt{3}})$是偶函數(shù).
∴當(dāng)$t∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.,\left.{\sqrt{3}})$時,$l=2+t+\sqrt{{t^2}+4}$在$[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.,\left.{\sqrt{3}})$上單調(diào)遞增,
∴$l∈[{2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.+\frac{{\sqrt{19}}}{2},\left.{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}})$,
∴△AON周長的取值范圍為[2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{19}}{2}$,2+$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$).…(12分)
點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1(y≠0) | B. | $\frac{y^2}{9}$+$\frac{x^2}{5}$=1(x≠0) | C. | $\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1(x≠3) | D. | $\frac{y^2}{9}$+$\frac{x^2}{5}$=1(y≠3) |
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A. | 8π | B. | 12π | C. | 16π | D. | 4π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 減少3.5個單位 | B. | 增加2個單位 | C. | 增加3.5個單位 | D. | 減少2個單位 |
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