Question

13．已知函數(shù)f（x）=cos（π+x）cos（$\frac{3}{2}$π-x）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II） 求f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 首先利用誘導公式，二倍角公式和輔助角公式對已知函數(shù)解析式進行化簡．
（I）根據(jù)函數(shù)解析式來求f（x）的最小正周期和最大值；
（II） 根據(jù)正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)來求f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：f（x）=cos（π+x）cos（$\frac{3}{2}$π-x）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
=（-cosx）•（-sinx）-$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（I）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最大值為1；
（II） 當f（x）遞增時，2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$（k∈Z），
所以，f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，三角函數(shù)的周期性和最大值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．