9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),F(xiàn)在直線PA上.
(1)若EF⊥PA,求$\frac{PF}{PA}$的值;
(2)求二面角P-BD-E的大。

分析 (1)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出$\frac{PF}{PA}$的值.
(2)求出平面BDP的法向量和設(shè)平面BDE的法向量,由此能求出二面角P-BD-E的大。

解答 解:(1)∵在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,
∴以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵PD=DC=2,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),F(xiàn)在直線PA上,
∴P(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,1),
設(shè)F(a,0,c),$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PA}$,則(a,0,c-2)=λ(2,0,-2)=(2λ,0,-2λ),
∴a=2λ,c=2-2λ,F(xiàn)(2λ,0,2-2λ),
$\overrightarrow{EF}$=(2λ,-1,1-2λ),$\overrightarrow{PA}$=(2,0,-2),
∵EF⊥PA,∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PA}$=4λ-2+4λ=0,解得$λ=\frac{1}{4}$,
∴$\frac{PF}{PA}$=$\frac{1}{4}$.
(2)P(0,0,2),B(2,2,0),D(0,0,0),E(0,1,1),
$\overrightarrow{DP}$=(0,0,2),$\overrightarrow{DB}$=(2,2,0),$\overrightarrow{DE}$=(0,1,1),
設(shè)平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,0),
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=y+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,-1,1),
設(shè)二面角P-BD-E的大小為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
∴二面角P-BD-E的大小為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

點(diǎn)評 本題考查線段比值的求法,考查二面角的大小的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表.
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P(K2≥k00.1000.0500.0250.0100.001
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