分析 (1)橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,即a=2c,點(diǎn)P($\frac{3}{2}$,1)代入橢圓方程:$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}$=1,又a2=b2+c2,即可取得a和b的值,求得橢圓C的方程;
(2)延長(zhǎng)AF1交橢圓與B′,由對(duì)稱性可知 $\overrightarrow{B{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{1}B′}$,即x2=-2x1,直線AF1:y=kx+1,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理可知x1+x2=$\frac{-6k}{3k2+4}$,x1x2=$\frac{-9}{3k2+4}$,聯(lián)立即可求得k的值,即可求得直線AF1的斜率.
解答 解:(1)由題意知:橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0)焦點(diǎn)在y軸,
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,即a=2c,
將點(diǎn)P($\frac{3}{2}$,1)代入橢圓方程:$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}$=1,
又a2=b2+c2,
解得:a=2,b=$\sqrt{3}$,c=1,…(4分)
故所求的橢圓方程為:$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$; …(6分)
(2)延長(zhǎng)AF1交橢圓與B′,由對(duì)稱性可知 $\overrightarrow{B{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{1}B′}$,設(shè)A(x1,y1),B′(x2,y2),
由$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{B{F}_{2}}$,
∴x2=-2x1①…(8分)
當(dāng)直線AB′斜率不存在時(shí),不符合,
當(dāng)直線AB′斜率存在時(shí),設(shè)直線AF1的斜率為k,又F1(0,1)
∴直線AF1:y=kx+1,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,消去y,整理得(3k2+4)x2+6kx-9=0,
∴x1+x2=$\frac{-6k}{3k2+4}$,x1x2=$\frac{-9}{3k2+4}$,
∴-x1=$\frac{-6k}{3k2+4}$,-2x12=$\frac{-9}{3k2+4}$,
∴-2($\frac{-9}{3k2+4}$)2=$\frac{-9}{3k2+4}$,整理得:45k2=36,
解得:k=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
故直線AF1的斜率為±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.…..…..(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的共線定理,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 0 | B. | a | C. | 1 | D. | 1-a |
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A. | 5$\sqrt{21}$m | B. | 10m | C. | $\frac{4900}{13}$m | D. | 35m |
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A. | 2$α+β=\frac{π}{2}$ | B. | 3$α+β=\frac{π}{2}$ | C. | 2$α-β=\frac{π}{2}$ | D. | 3$α-β=\frac{π}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | (-4,1) | B. | (-1,4) | C. | (-∞,-$\frac{3}{2}$) | D. | (-∞,$\frac{3}{2}$) |
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