Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2定義在[-5，5]上．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使f（x）在[-5，5]上具有單調(diào)性；  
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）a=2，則f（x）=（x-1）²-4，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得它的最值．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在[-5，5]上具有單調(diào)性，f（x） 的圖象的對(duì)稱軸方程為x=-a，可得-a≤-5，或-a≥5，由此求得a的范圍，
（3）對(duì)a進(jìn)行分類討論即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² （-5≤x≤5），
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=（x-1）²+1，（-5≤x≤5），
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值為1，當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)取得最大值為37．
（2）若函數(shù)f（x）在[-5，5]上具有單調(diào)性，
f（x）=x²+2ax+2 的圖象的對(duì)稱軸方程為x=-a，
∴-a≤-5，或-a≥5，
即a≥5或a≤-5，
（3）由函數(shù)f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 
①當(dāng)a≤-5，f（x）∈[27+10a，27-10a]；
②當(dāng)-5＜a＜0時(shí)，f（x）∈[2-a²，27-10a]；
③當(dāng)0≤a＜5時(shí)，[2-a²，27+10a]；
④當(dāng)a≥5時(shí)，[27-10a，27+10a]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬中檔題．