Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），且其圖象關(guān)于直線x=0對稱，則（　�。�

• A． y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)
• B． y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)
• C． y=f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，且在（0，$\frac{π}{4}$）上為增函數(shù)
• D． y=f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，且在（0，$\frac{π}{4}$）上為減函數(shù)

Answer 1

分析 通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出函數(shù)的最小正周期，再由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，將x=0代入函數(shù)解析式中的角度中，并令結(jié)果等于kπ（k∈Z），再由φ的范圍，求出φ的度數(shù)，代入確定出函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間確定出函數(shù)的得到遞減區(qū)間為[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），可得出（0，$\frac{π}{2}$）?[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），即可得到函數(shù)在（0，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)，進(jìn)而得到正確的選項(xiàng)．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）
=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{1}{2}$cos（2x+φ）]
=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$），
∴ω=2，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，
∴φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=kπ$+\frac{π}{3}$（k∈Z），
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），
解得：kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），
又（0，$\frac{π}{2}$）?[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），
∴函數(shù)在（0，$\frac{π}{2}$ ）上為減函數(shù)，
則y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期性及其求法，余弦函數(shù)的對稱性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，其中將函數(shù)解析式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)是本題的突破點(diǎn)，是中檔題．