4.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)上一點(diǎn)P(1,$\frac{3}{2}$)與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于x軸,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(均不在坐標(biāo)軸上).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△AOB的面積為$\sqrt{3}$,試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說(shuō)明理由.

分析 (1)由題意可知:橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,c=1,則a2=b2+1,將P(1,$\frac{3}{2}$)代入橢圓方程,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(2)將直線方程代入橢圓方程,由△>0,求得m2<4k2+3.則丨x1-x2丨=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$,則S△OAB=$\frac{1}{2}$•|m|•|x1-x2|=$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$=$\sqrt{3}$,即可求得4k2-m2=m2-3,kOA•kOB=$\frac{{y}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$=-$\frac{3}{4}$,直線OA與OB的斜率之積為定值-$\frac{3}{4}$.

解答 解:(1)由題意知:橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,c=1,則a2=b2+1,

由P(1,$\frac{3}{2}$)在橢圓上,則$\frac{1}{^{2}+1}+\frac{9}{4^{2}}=1$,解得:b2=3,則a2=4,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,整理得:(4k2+3)2+8kmx+4m2-12=0,
由△=(8km)2-16(4k2+3)(m2-3)>0,得m2<4k2+3.
∵x1+x2=-$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$,x1x2=$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$,
丨x1-x2丨=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{(-\frac{8km}{4{k}^{2}+3})^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}}$=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$
∴S△OAB=$\frac{1}{2}$•|m|•|x1-x2|=$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$=$\sqrt{3}$,
化簡(jiǎn)得4k2+3-2m2=0,滿足△>0,
從而有4k2-m2=m2-3,
∴kOA•kOB=$\frac{{y}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}({x}_{1}+m)({x}_{2}+m)}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-12{k}^{2}+3{m}^{2}}{4{m}^{2}-12}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$,由上式,得$\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$=1,
∴kOA•kOB=-$\frac{3}{4}$,
∴直線OA與OB的斜率之積為定值-$\frac{3}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式,三角形面積公式與直線的斜率公式的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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