Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（ I）判斷f（x）的奇偶性；          
（ II）求證：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）為定值；
（III）求$f（\frac{1}{2017}）$+$f（\frac{1}{2016}）$+$f（\frac{1}{2015}）$+f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．

Answer 1

分析 （I）先求出函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，再由f（-x）=f（x），得到f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）推導(dǎo)出f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），由此能證明$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$為定值．
（Ⅲ）由$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$，能求出$f（\frac{1}{2017}）$+$f（\frac{1}{2016}）$+$f（\frac{1}{2015}）$+f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$的定義域R，定義域關(guān)于原點對稱．…（1分）
又$f（-x）=\frac{{1-{{（-x）}^2}}}{{1+{{（-x）}^2}}}=\frac{{1-{x^2}}}{{1+{x^2}}}=f（x）$，…（3分）
∴f（x）是偶函數(shù)．…（4分）
證明：（Ⅱ）∵$f（\frac{1}{x}）=\frac{{1-{{（\frac{1}{x}）}^2}}}{{1+{{（\frac{1}{x}）}^2}}}=\frac{{1-\frac{1}{x^2}}}{{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+1}}=-f（x）$，…（6分）
∴$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$為定值．…（8分）
解：（Ⅲ）由（II）知$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$，
$f（\frac{1}{2017}）$+$f（\frac{1}{2016}）$+$f（\frac{1}{2015}）$+f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）
=$[f（\frac{1}{2017}）+f（2017）]+[f（\frac{1}{2016}）+f（2016）]+[f（\frac{1}{2015}）+f（2015）]+f（1）$…（10分）
=0+f（1）=0．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)值為定值的證明，考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．