Question

2．已知四棱錐P-ABCD中，底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M為PC上一點，M為PC的中點．
（1）在圖中作出平面ADM與PB的交點N，并指出點N所在位置（不要求給出理由）；
（2）求平面ADM將四棱錐P-ABCD分成上下兩部分的體積比．

Answer 1

分析 （1）設(shè)N為PB中點，利用三角形中位線定理及其線面平行的判定定理可得截面如圖所示．
（2）MN是△PBC的中位線，BC=1，可得MN=$\frac{1}{2}$，AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且AN⊥AD，利用梯形面積計算公式及其體積計算公式可得四棱錐P-ADMN的體積V₁．而四棱錐P-ABCD的體積V，可得四棱錐被截下部分體積V₂=V-V₁．

解答 解：（1）設(shè)N為PB中點，截面如圖所示．
（2）∵M(jìn)N是△PBC的中位線，BC=1，
∴MN=$\frac{1}{2}$，AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且AN⊥AD，
∴梯形ADMN的面積為$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}+1）×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{8}$，
P點到截面ADMN的距離為P到直線AN的距離d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴四棱錐P-ADMN的體積V₁=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{5}}{8}×\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{4}$，
而四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$，
所以四棱錐被截下部分體積V₂=V-V₁=$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$=$\frac{5}{12}$，
故上，下兩部分體積比$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題以四棱錐為載體、線面平行的判定定理、三角形中位線定理、體積計算公式，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題．