Question

13．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中側(cè)棱垂直于底面，AC⊥BC，點D是AB的中點．求證：
（Ⅰ） AC⊥BC₁；
（Ⅱ） AC₁∥平面 B₁CD；
（Ⅲ）若 AC=BC=1，AA₁=2，求三棱錐DB₁BC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AC，結(jié)合AC⊥BC，利用線面垂直的判定可得AC⊥平面BCC₁B₁，從而得到AC⊥BC₁ ；
（Ⅱ）設BC₁與B₁C的交點為O，連結(jié)OD，可得O為B₁C中點，又D是AB的中點，利用三角形中位線定理可得OD∥AC₁，再由線面平行的判定可得 AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）由已知求出${S}_{△B{B}_{1}C}=\frac{1}{2}×1×2=1$，D到平面BB₁C的距離d=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$，代入三棱錐體積公式可得三棱錐DB₁BC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁ ；
（Ⅱ）證明：設BC₁與B₁C的交點為O，連結(jié)OD，
∵BCC₁B₁為平行四邊形，∴O為B₁C中點，
又D是AB的中點，∴OD是三角形ABC₁的中位線，則OD∥AC₁，
又AC₁?平面B₁CD，OD?平面B₁CD，∴AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）解：∵AC=BC=1，AA₁=2，
∴${S}_{△B{B}_{1}C}=\frac{1}{2}×1×2=1$，D到平面BB₁C的距離d=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$，
∴${V}_{D-B{B}_{1}C}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．