Question

12．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的焦距為$2\sqrt{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁MF₂=60°，${S_{△{F_1}M{F_2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：平行四邊形OAPB的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$c=\sqrt{2}$，則，$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=2a}\\{{x^2}+{y^2}-8=2xycos{{60}°}}\\{\frac{1}{2}xysin{{60}°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}\end{array}}\right.$，即可求得a的值，則b²=a²-c²=2，即可求得橢圓C的方程；
（2）將直線l的方程代入橢圓方程，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式即可及點(diǎn)到直線的距離公式求得平行四邊形OAPB的面積S=$\sqrt{6}$，即可求證平行四邊形OAPB的面積為定值．

解答 解：（1）由題意可知，2c=$2\sqrt{2}$，即$c=\sqrt{2}$，設(shè)|MF₁|=x，|MF₂|=y，
在△F₁MF₂中，$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=2a}\\{{x^2}+{y^2}-8=2xycos{{60}°}}\\{\frac{1}{2}xysin{{60}°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}\end{array}}\right.$，…（2分）
解得：a²=4，…（4分）
∴b²=a²-c²=2
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（5分）
（2）證明：由直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，消y可得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，…（6分）
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-4）=8（4k²+2-m²）＞0，則m²＜4k²+2，
則${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，…（8分）
${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{{-4{k^2}m}}{{2{k^2}+1}}+2m=\frac{2m}{{2{k^2}+1}}$，
而$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$，
∴$P（\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，\frac{2m}{{2{k^2}+1}}）$…（9分）
∵點(diǎn)P在橢圓上，
代入橢圓方程：$\frac{1}{4}{（\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}{）^2}+\frac{1}{2}（\frac{2m}{{2{k^2}+1}}）^2}=1$，
整理可得：${m^2}={k^2}+\frac{1}{2}$，滿足△＞0，…（10分）
又$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{（\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}{）^2}-4\frac{{2{m^2}-4}}{{2{k^2}+1}}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（4{k^2}+2-{m^2}）}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{2\sqrt{3}\sqrt{1+{k^2}}}}{{\sqrt{2{k^2}+1}}}$…（11分）
設(shè)O到直線AB的距離為d，則$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{{k^2}+\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{\sqrt{2{k^2}+1}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，…（12分）
∴${S_{平行四邊形OAPB}}=|AB|•d=\frac{{2\sqrt{3}\sqrt{1+{k^2}}}}{{\sqrt{2{k^2}+1}}}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{\sqrt{2{k^2}+1}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{6}$，
平行四邊形OAPB的面積為定值．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，余弦定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．