分析 構(gòu)造函數(shù),則只需證明存在x∈(0,1)使得F(x)=0,用連續(xù)函數(shù)的介值定理求證即可.
解答 解:令函數(shù)f(x)=${∫}_{x}^{1}$f(t)dt-xf(x),則只需證明存在x∈(0,1)使得F(x)=0.
因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一連續(xù)函數(shù),所以,函數(shù)F(x)也是連續(xù)函數(shù).
F(0)=${∫}_{0}^{1}$f(t)dt-0=${∫}_{0}^{1}$f(t)dt,F(xiàn)(1)=${∫}_{1}^{1}$f(t)dt-f(1)=-f(1);
因?yàn)閥=f(x)是區(qū)間[0,1]上非負(fù),所以有:F(0)≥0,F(xiàn)(1)≤0
因?yàn)镕(x)連續(xù),所以在區(qū)間(0,1)上必存在x0∈(0,1),使得F(x0)=0.
即存在x0∈(0,1),使得在區(qū)間[0,x0]上以f(x0)為高的矩形面積,
等于在區(qū)間[x0,1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積.
點(diǎn)評(píng) 本題考查連續(xù)函數(shù)介值定理及函數(shù)的單調(diào)性判斷.需要注意:對(duì)于介值定理,題目一般不直接給出函數(shù),需要自己根據(jù)需要構(gòu)造出一個(gè)連續(xù)函數(shù).
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A. | {-1} | B. | {-1,0} | C. | {0,1} | D. | {0} |
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A. | $\frac{5π}{6}$ | B. | $\frac{3π}{4}$ | C. | $\frac{π}{4}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
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