5.在區(qū)域$Ω=\left\{{(x,y)|\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+y≤1\\ x-y≤1\end{array}\right.}\right\}$中,若滿足ax+y>0的區(qū)域面積占Ω面積的$\frac{1}{3}$,則實數(shù)a的值是( 。
A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.$-\frac{2}{3}$

分析 先利用二元一次不等式(組)與平面區(qū)域,根據(jù)約束條件畫出可行域,然后求出區(qū)域的面積即可,利用目標函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結合確定a的值

解答 解:作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:(陰影部分)
可知A(0,1),B(0,-1),C(1,0),x,y滿足約束條件,
則點P(x,y)所在區(qū)域的面積就是三角形的面積:S△ABC=$\frac{1}{2}$×2×1=1.
設y=-ax,
結合圖形可知a<0時,才能滿足滿足ax+y>0的區(qū)域面積占Ω面積的$\frac{1}{3}$,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-ax}\\{x+y=1}\end{array}\right.$,解得xD=$\frac{1}{1-a}$,
則S△OAD=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{1-a}$=$\frac{1}{3}$,
解得a=-$\frac{1}{2}$,
故選:C.

點評 本題考查線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結合的解題思想方法,是中檔題.

練習冊系列答案
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