18.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,PA⊥平面ABCD,PA=a,則二面角P-CD-A的大小為arctan$\frac{\sqrt{5}}{3}$.

分析 如圖過點A作AE⊥CD于E,連接PE,由∠PEA是二面角P-CD-A的平面角或補角,由Rt△DAE中,AD=3a,∠ADC=arcsin$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,則AE=AD•sin∠ADE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a,即可求得二面角P-CD-A的大。

解答 解:如圖過點A作AE⊥CD于E,連接PE,
由PA⊥平面ABCD,則PE⊥CD,
故∠PEA是二面角P-CD-A的平面角或補角,
在Rt△DAE中,AD=3a,∠ADC=arcsin$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,
AE=AD•sin∠ADE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a,
在Rt△PAE中,tan∠PEA=$\frac{PA}{AE}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$,
∴二面角P-CD-A的大小arctan$\frac{\sqrt{5}}{3}$,
故答案為:arctan$\frac{\sqrt{5}}{3}$.

點評 本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系,考查二面角的求法,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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9.直線x+y=$\sqrt{3}$a與圓x2+y2=a2+(a-1)2相交于點A、B,點O是坐標(biāo)原點,若△AOB是正三角形,則實數(shù)a=( 。
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(Ⅰ) 求橢圓C及其“伴隨”的方程;
(Ⅱ)斜率為1的直線m經(jīng)過拋物線x2=8y的焦點F,且與拋物線交于M,N兩點,求線段MN的長度;
(Ⅲ) 過點P(0,m)作“伴隨”的切線l交橢圓C于A,B兩點,若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{2}{5}$,求切線l的方程.

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13.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為棱AD,AB的中點.
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(2)求CB1與平面CAA1C1所成角的正弦值.

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3.已知函數(shù)f(x)=2sin2(x+$\frac{π}{4}$)-2$\sqrt{2}$cos(x-$\frac{π}{4}$)-5a+2.
(1)設(shè)t=sinx+cosx,將函數(shù)f(x)表示為關(guān)于t的函數(shù)g(t),求g(t)的解析式;
(2)對任意x∈[0,$\frac{π}{2}$],不等式f(x)≥6-2a恒成立,求a的取值范圍.

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10.已知直線l:y=ax+2在矩陣M=$[\begin{array}{l}{0}&{1}\\{1}&{-2}\end{array}]$對應(yīng)的變換作用下得到直線l′,若直線l′過點(1,1),則實數(shù)a的值為-$\frac{1}{3}$.

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8.已知點A(1,1),B(-2,2),則向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{BO}$的夾角為( 。 (其中O為坐標(biāo)原點)
A.30°B.90°C.60°D.120°

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