分析 (1)直線PT切于點(diǎn)T,則OT⊥PT,求出kOT,kPT,直線l和PT,求出P的坐標(biāo).
(2)設(shè)P(x,y),由PA=2PT,求出點(diǎn)P的軌跡方程,問題可轉(zhuǎn)化為直線$\sqrt{3}x+y-a=0$與圓(x-$\frac{2}{3}$)2+y2=$\frac{64}{9}$,有公共點(diǎn),列出不等式求解即可.
(3)當(dāng)直線BC垂直與x軸時(shí),顯然不成立,設(shè)直線BC為y=kx+b(b≠0),將它與圓方程聯(lián)立,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),利用kOBkOC=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-4{k}^{2}+^{2}}{^{2}-4}$=k2,求解即可.
解答 解:(1)由題意,直線PT切于點(diǎn)T,則OT⊥PT,
又切點(diǎn)T($\sqrt{3}$,-1),所以kOT=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,∴kPT=$\sqrt{3}$,
故直線PT的方程為y+1=$\sqrt{3}$(x-$\sqrt{3}$),即$\sqrt{3}x-y-4=0$.
聯(lián)立直線l和PT,$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-4=0}\\{\sqrt{3}x+y-8=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}}\\{y=2}\end{array}\right.$即P(2$\sqrt{3},2$).
(2)設(shè)P(x,y),由PA=2PT,可得(x+2)2+y2=4(x2+y2-4),
即3x2+3y2-4x-20=0,即滿足PA=2PT的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓(x-$\frac{2}{3}$)2+y2=$\frac{64}{9}$,
所以問題可轉(zhuǎn)化為直線$\sqrt{3}x+y-a=0$與圓(x-$\frac{2}{3}$)2+y2=$\frac{64}{9}$,有公共點(diǎn),
所以d=$\frac{|\sqrt{3}×\frac{2}{3}-a|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1}}≤\frac{8}{3}$,解得$\frac{-16+2\sqrt{3}}{3}≤a≤\frac{16+2\sqrt{3}}{3}$.
(3)當(dāng)直線BC垂直與x軸時(shí),顯然不成立,所以設(shè)直線BC為y=kx+b(b≠0),
將它與圓方程聯(lián)立并消去y得(k2+1)x2+2kbx+b2-4=0,
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),
則x1x2=$\frac{^{2}-4}{{k}^{2}+1}$,x1+x2=$\frac{-2kb}{{k}^{2}+1}$,因?yàn)閯ty1y2=$\frac{-4{k}^{2}+^{2}}{{k}^{2}+1}$,
故kOBkOC=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-4{k}^{2}+^{2}}{^{2}-4}$=k2,
即b2(k2-1)=0,因?yàn)閎≠0,所以k2=1,即k=±1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
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A. | 3 | B. | 5 | C. | $\sqrt{26}$ | D. | $\frac{5}{4}$ |
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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